Componentes tangencial y normal de la aceleración: interpretación geométrica

La velocidad, en tanto que vector, es susceptible de ser modificada de 2 maneras: Ya dijimos que la aceleración caracterizaba la variación de la velocidad. La aceleración en un instante $ t :$ $ \alpha ''(t)$ es también un vector. Si lo expresamos en la base $ \lbrace T(t), N(t) \rbrace$ obtenemos las componentes tangencial y normal de la aceleración:

$\displaystyle \alpha ''(t) = \lambda(t)\cdot T_{\alpha}(t) + \mu(t)\cdot
N_{\alpha}(t)$

donde, por ser $ T$, $ N$ ortonormales,

$\displaystyle \begin{matrix}
\lambda(t)=\langle \alpha ''(t), T_{\alpha}(t)\rangle \\
\mu(t)=\langle \alpha ''(t), N_{\alpha}(t)\rangle.
\end{matrix}$

A continuación calculamos la expresión de $ \alpha '$ y $ \alpha ''$en la base $ \lbrace T, N\rbrace $. Si hacemos $ v(t)=\vert\vert\alpha '(t)\vert\vert$ y consideramos $ \alpha(t)={\beta(s(t))}$, donde $ \beta$ es una reparametrización por el arco de $ \alpha,$ no es difícil llegar a las siguientes igualdades:

$\displaystyle \begin{matrix}
\alpha '(t)=v(t)\cdot T_{\alpha}(t)  [3mm]
\alp...
...(t)\cdot T_{\alpha}(t)+v^{2}(t)\cdot
\kappa(t)\cdot N_{\alpha}(t).
\end{matrix}$

La primera es trivial, y para la segunda observamos:

$\displaystyle \alpha ''(t)$ $\displaystyle =v'(t)\cdot T_{\alpha}(t)+v(t)\cdot T_{\alpha} '(t)$    
$\displaystyle T_{\alpha}(t)$ $\displaystyle =T_{\beta}(s(t))=\beta '(s(t))$    

\begin{multline*}
T_{\alpha} '(t)=\beta ''(s(t))\cdot s'(t)=v(t)\cdot
\beta '...
...(t))\vert\vert}=v(t)\cdot
\kappa_{\alpha}(t)\cdot N_{\alpha}(t).
\end{multline*}

La interpretación geométrica de la expresión obtenida para la aceleración es como sigue:


Ejercicio (Sobre la aceleración)
Ejercicio (Plano Osculador(II))

2004-07-30